Tạo thói quen khai thác giải thiết bài toán

Từ bài toán giải hệ phương trình trong đề thi Đại Học khối A năm 2010, tác giả bài viết Trần Quốc Luật sinh viên lớp 50A Đại Học Vinh đã “mổ xẻ” đề bài để từ đó khai thác triệt để đặc điểm của từng phương trình trong hệ cho ra những cách giải hay và độc đáo

Trong đề thi Đại Học Khối A 2010 có bài toán “phân loại” như sau:

Bài toán: Giải hệ phương trình:

Trước hết, ta đặt điều kiện laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

Rõ ràng đây là một hệ phương trình không mẫu mực.

Ta hãy xem xét từng phương trình của hệ.

Nhận thấy phương trình (1) có 2 ẩn “phân ly ” “rời nhau” (có thể “cô lập” mỗi ẩn sang một vế của phương trình) đồng thời chứa một biểu thức trong dấu căn (hơn nữa bậc của x và laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

bằng nhau và bằng 3).

Ta khai thác triệt để những điều này như sau. Trước hết cô lập mỗi ẩn về mỗi vế ta được laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

Đặt

ta có

Đến đây ta đã phát hiện ra hàm đặc trưng laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

Rỗ ràng

nên hàm này đồng biến do đó t = 2x hay laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

Với bản chất như vậy, ngoài cách trình bày trên ta còn có thể trình bày bước này như sau:

Cách 1.1 : Đặt laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

, ta có ngay (1) trở thành laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

Suy ra

Cách 1.2: Ta có :

Vấn đề đã được giải quyết một nửa, ta sẽ xử lý phương trình (2) với điều kiện (3)

Cách 2.1: Thay (3) vào (2) ta có

Cách 2.2: Nhận thấy x = 0 và laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

đều không phải là nghiệm nên laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

. Thay

vào phương trình thứ 2 ta được laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

Trong khoảng laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

hàm số:

nghịch biến

Thật vậy, ta có

Mặt khác ta lại có laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

. Vì vậy phương trình g(x) = 7 chỉ có một nghiệm duy nhất laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

Cách 2.3: Viết lại (4 ) dưới dạng f(x) = g(x) với laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

và

. Khảo sát riêng lẻ f(x); g(x) thấy trên khoảng laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

hàm f(x) nghịch biến , g(x) đồng biến nên (4) có nghiệm duy nhất

Cách 2.4: Đặt laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

Ta có:

Nếu

thì từ (3) ta có y < 2. Do vậy laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

. Hệ (*) vô nghiệm

Nếu

thì y = 2, thỏa mãn

Nếu

thì từ (3) ta có y > 2. Do vậy laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

. Hệ (*) vô nghiệm

Cách 2.5: Thay laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

vào (2) ta được :

Đặt a = y – 1 thì ta được laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

Đặt

ta có

Cách trình bày 1:

+) Nếu a > 1 thì b < 1 nên c > 1, do vậy a < 1, vô lý

+) Nếu a= 1 thì b = c = 1, thỏa mãn. Thay vào ta có nghiệm của hệ (*) là laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

Cách trình bày 2:

Không mất tính tổng quát, giả sử laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

Từ

có

. Tương tự laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

. Do vậy

. Đẳng thức xảy ra khi a = b= 1. Từ đó a = b = c= 1.

Cách 2.6:

“Làm chặt” điều kiện được laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

Chú ý với điều kiện này thị các hàm laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

đồng biến , đồng thời

và

nghịch biến.

Ta đánh giá:

Với

thì từ (1) ta có laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người

từ (2)

(mâu thuẫn)

Với

tương tự ta có mâu thuẫn.

Vậy

thay vào thấy thỏa mãn

Cách 2.7: Khử y ta có:

Đặt

thì

Khử x ta có:

Bài tập tương tự áp dụng:

Giải các hệ phương trình sau:

Trích Tạp chí "Toán học và sinh viên" Trường Đại học Vinh 11/2010

Unknown

Add Comment

Luyện thi đại học, tài liệu Luyện thi đại học, Toán 12, Toán Học, Toán lớp 12

Thứ Tư, 8 tháng 8, 2012

Kênh tư vấn
Published: 2012-08-08T21:36:00-07:00
Title:Tạo thói quen khai thác giải thiết bài toán
Rating: 5 On 22 reviews

Kênh tư vấn

Tạo thói quen khai thác giải thiết bài toán

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét