Bất đẳng thức Côsi (Cơ bản)

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN)
CÓ THỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI

Trích: Diễn đàn khối 10

Nhắc lại:

* BĐT Côsi áp dụng cho hai số không âm $a, b$ :
$\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ (1)
- Cách viết tương đương: $a+b \geq 2\sqrt{ab}$ . (2)
Dấu $=$ xẩy ra khi và chỉ khi $a=b$ .
* Chú ý: Với hai số thực tùy ý $a, b$ , ta có:
- $a^2+b^2 \geq 2ab$ (Vì $\Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0$ .

* Một số kết quả thường dùng:

$a+\dfrac{1}{a} \geq 2, \forall a>0$ .

Thật vậy, vì $a>0$ nên $\dfrac{1}{a}>0$ . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
$a+\dfrac{1}{a} \geq 2.\sqrt{a.\dfrac{1}{a}} = 2$ .

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2, \, \forall a, b, a.b>0$ .

Thật vậy, vì $a.b>0$ nên $\dfrac{a}{b}>0, \, \dfrac{b}{a}>0$ . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2.\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2$ .

————————————

MỘT SỐ BÀI TẬP

Bài 1: Bài toán thuận.
Chứng minh rằng với mọi $x>1$ ta có: $4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3$ .
Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?

Hướng dẫn:
Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo. Vì đã có số hạng $\dfrac{1}{x-1}$ nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của $x-1$ . Vậy ta phải viết lại vế trái như sau:
$4x-5+\dfrac{1}{x-1}=4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} -1$ (*)
Vì $x>1$ nên $x-1>0$ .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương $4(x-1), \, \dfrac{1}{x-1}$ , ta có:
$4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4(x-1)\dfrac{1}{x-1}}$
Hay $4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4}=4$ . (**)
Kết hợp với (*), suy ra:
$4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 4-1 =3$ .
Vậy $4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3$ (đpcm)
Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 4(x-1)=\dfrac{1}{x-1}$
$\Leftrightarrow 4(x-1)^2=1 \Leftrightarrow (x-1)^2=\dfrac{1}{4}$
$\Leftrightarrow x-1=\dfrac{1}{2}$ (do $x-1>0$ )
$\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$ .
——-

Bài 2: Bài toán ngược của dạng Bài toán 1.
Chứng minh rằng $(x-1)(5-x) \leq 4, \, \forall x\in [1; 5]$

Hướng dẫn:
Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, nên ta cần chú ý một dạng tương đường của BĐT (1) là $(\dfrac{a+b}{2})^2 \geq ab$ . (3)
Quay lại bài tập này, với mọi $x\in [1; 5]$ thì $x-1 \geq 0, \, 5-x \geq 0$ . Vậy áp dụng BĐT (3) cho hai số không âm này ta có:
$(\dfrac{x-1+5-x}{2})^2 \geq (x-1)(5-x)$
$\Leftrightarrow 4 \geq (x-1)(5-x)$ . (đpcm)
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x-1=5-x \Leftrightarrow x=3$ .

——————

BÀI TẬP TỰ GIẢI.
Chứng minh rằng:
1. $4-3x+\dfrac{4}{1-3x} \geq 7, \, \forall x<\dfrac{1}{3}$ .
2. $1-3x+\dfrac{3}{2-x} \geq 1, \, \forall x<2$
3. Với mọi góc $0^o < \alpha < 90^o$ , ta có: $\tan\alpha + \cot\alpha \geq 2$ .
4. $(3-x)(2+x) \leq \dfrac{25}{4}, \, \forall x\in [-2; 3]$ .
5. $(2-x).(1+2x) \leq \dfrac{25}{8}, \, \forall x\in [-\dfrac{1}{2}; 2]$ .